ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Теория:
Шабунин (Книга в свободном доступе в инернете) стр 12. Метод математической инукции (теория) + стр 14 пример 3.
Задача 1) Уравнение:
Методом математической индукции доказать равенство:
$1^2+2^2+3^2+…+n^2=n\cdot(n+1)\cdot \frac{2n+1}{6}$
Задача 2) Неравенство:
$log_2x+6\cdot log_4x-3\cdot log_8x\le 6$
Задача 3) Текстовая задача:
Смешав 45%-ный и 97%-ный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-ный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 72%-ный раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-ного раствора использовали для получения смеси?
Задача 4) Тригонометрия: Шабунин
$2\cdot cos^{2}(x)+3\cdot sin(x)\cdot cos(x)=5\cdot sin^2(x)$
Задача 5) Стереометрия: Прасолов стр 11 Задача 1.23
Прямая образует с ортонормированным базисом углы $α$, $β$ и $γ$.
Докажите, что $cos^2(\alpha)+cos^2(\beta)+cos^2(\gamma)=1$.
Задача 6) Планиметрия: ЕГЭ
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Задача 7) Экономическая задача.
Взят кредит в банке на сумму 200 000 рублей под k% годовых и выплачен за 2 года платежами 130 000 рублей в первый год и 150 000 рублей — во второй. Найдите k.
Задача 8) Параметр: ЕГЭ
$(|x|-5)^2+(y-4)^2=9$ и
$(x+2)^2+y^2=a^2$
Задача 9) Олимп ЕГЭ:
В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?
в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.